پيدايش اعداد(دستگاههاي شمار)ریاضی سال دوم راهنمایی
علامتهايي كه ما براي نشان دادن اعداد به كار ميبريم، فقط قراردادهايي هستند كه به مرور زمان مرسوم شدهاند و اين علائم گاهي اوقات حتي در فرهنگ و اعتقادات مردم هم ريشه دواندهاند تا جائي كه در برخي فرهنگها، بعضي اعداد ميمون و مبارك و برخي شوم و نحس شمرده شدهاند. مثلاً ايرانيان باستان عدد ۱۳ را نحس ميدانستند و از آن دوري ميكردند كه آثار آن هنوز هم در برخي مراسمات ديده ميشود.
آنچه در شمارش مهم است، نوع علامتي كه بكار ميبريم نيست بلكه نوع دستهبندي است كه اعمال ميشود. مسلماً بهترين وسيلهي انسان نخستين براي شمارش، انگشتان دو دستش بوده است و به همين خاطر سعي كرده كه هر چيزي را به دستههاي ۱۰ تايي تقسيمبندي كند. كسي كه تعداد گوسفندانش بيشتر از ۱۰تا بود، نميتوانست براي شمردن آنها از انگشتان دو دستش استفاده كند ولي ميتوانست براي هر ده تا ، يك علامت مخصوص داشته باشد. مثلاً سنگي كنار بگذارد يا احتمالاً خطي روي ديوار بكشد و اين آغاز شمارش بود.
البته برخي فرهنگها به جاي استفاده از انگشتان دو دست، از بندهاي چهار انگشت استفاده ميكردند كه اين اجازه ميداد تا ۱۲ شمرده شود و سپس از علامت استفاده شود. كاملاً مشخص است كه در اينجا هر خط روي ديوار نشاندهندهي ۱۲ گوسفند بود نه ۱۰ تا . پس با علامتهاي كمتر ميتوانستند گوسفندان بيشتري را بشمارند. با اندكي تأمل در نحوه خواندن اعداد در زبانهاي اروپائي در مييابيم كه تا عدد ۱۲ از علامتهاي متفاوت و بعد از آن از علامتهاي مشابه استفاده ميشود. يعني هر علامت براي ۱۲ تا. در حالي كه در زبانهاي آسيايي مثلاً عربي و فارسي اين اتفاق براي ۱۰ عدد ميافتد يعني هر علامت براي۱۰تا.به اين ترتيب ميتوان نتيجه گرفت كه اقوام آسيايي ازانگشتان دودستشان و اقوام اروپايي از بندهاي انگشتان يكدست براي شمارش استفاده ميكردهاند. پس انسان مجبور نبوده است كه براي شمارش از دستهبنديهاي ۱۰ تايي استفاده كند. و شايد اين امر، علتي جز اينكه آدم ۱۰ انگشت در دستانش دارد، نداشته باشد.
بعدها به تدريج به دليل سادگي شمارش دستههاي ۱۰تايي ، تصميم گرفته شد كه از جدول ارزش مكاني ۱۰ استفاده شود. به طوري كه هر ۱۰ يكي تشكيل يك بستهي۱۰ تايي و هر بستهي ۱۰ تايي تشكيل يك بسته ۱۰۰تايي و . . . را بدهد.
عددها هم همان خطوط روي ديوار بودند كه كم كم در هر فرهنگ شكل ثابتي به خود گرفتند تا با هم قابل مقايسه شوند. اين اعداد به خاطر اين كه در طبيعت موجودند و قابل لمس هستند، اعداد طبيعي نام گرفتند.
درصورت لزوم ميتوان دستهبندي با جدول ارزشمكاني ۱۰ را باز كرد وبه دسته بنديهاي دلخواه مثلاً ۶تايي يا ۴تايي و يا هر عدد ديگر تبديل كرد. به دليل اينكه ما معمولاً از اعداد در دستهبنديهاي۱۰تايي استفاده ميكنيم، به اين مبنا، معمولي ميگوييم و بهدستهبنديهاي غير۱۰تايي، غيرمعمولي ميگوييم.
الف)تبديل اعداد غيرمعموليبه معمولي:
اگر به معناي مبنا توجه داشتهباشيد، اينكار بسيار ساده خواهد بود. كافياست كه ارزشمكاني هررقم را با توجه به نوع دستهبندي درآن ضرب كرده سپس اعداد به دستآمده را با هم جمع كنيم.
مثال: براي تبديلكردن عدد غير معمولي (بخوانيد:دو، صفر، يك، چهار درمبناي پنج) به عدد معمولي بايد دقت كرد كه دراين عدد؛ چهار يكي، يك بسته پنجتايي، صفر بسته بيستوپنجتايي و دوبسته ۱۲۵تايي وجود دارد.
البته براي سادگي كار ميتوان ارزش مكاني هرعدد را بالاي آن نوشته و ضرب كرد.
ب) تبديل اعداد معمولي به غير معمولي:
اين كار، هم با استفاده از شكل (براي اعداد كوچك) و هم بدون شكل (براي اعداد بزرگ) امكان پذير است.
وقتي ميخواهيم عددي را به دسته بندي غير ۱۰ تايي تقسيم كنيم، بايد دستههاي قبلي را بازكرده و با استفاده از تقسيم بر مبنا، دستههاي جديد درست كنيم.
نكته مهم در مبناي غيرمعمولي اين است كه در هرمبنا، فقط به همان اندازه رقم داريم. مثلاً درمبناي ۵، فقط از رقمهاي ۰و۱و۲و۳و۴ ميتوان استفاده كرد و پس از آن اعداد دورقمي و بيشتر ميشوند. با اين توصيف كوچكترين مبناي ممكن، مبناي۲ ميشود كه در آن فقط رقمهاي ۰و۱وجود دارند. لايبنيتس دانشمند ورياضيداني كه براي اولين بار متوجه اين واقعيت شد، به قدري هيجانزده شد كه نوشت: همانگونه كه خداي واحد تمام كائنات را از هيچ به وجودآورد، ما هم ميتوانيم با يك و صفر تمام اعداد را بهدست بياوريم.
براي تبديل اعداد معمولي به غيرمعمولي بايد عدد مورد نظر را بر مبناي منظور تقسيم كنيم. اگرخارجقسمت از مبنا كوچكتر شد، كار تمام شدهاست وگرنه بايد خارجقسمت را هم بر مبنا تقسيم كنيم و اين كار را آنقدر ادامه دهيم تا به اعدادي كوچكتر از مبنا برسيم. در انتها آخرين خارجقسمت و تمام باقيماندهها را به عنوان جواب مينويسيم.
